Številne enačbe je mogoče poenostaviti z razširitvijo logaritmov. Izraz “razširljivi logaritmi” se ne nanaša na logaritme, ki se širijo, temveč na proces, s katerim se en matematični izraz nadomesti z drugim v skladu s posebnimi pravili. Obstajajo tri taka pravila. Vsak od njih ustreza določeni lastnosti eksponentov, ker je logaritem funkcionalna inverzna stopnja stopnje: log3(9) = 2, ker je 32= 9.
Najpogostejše pravilo za razširitev logaritmov se uporablja za ločevanje izdelkov. Logaritem produkta je vsota ustreznih logaritmov: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Ta enačba je izpeljana iz formule ax * ay = ax+y. Lahko se razširi na več faktorjev: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Povečanje števila na negativno potenco je enakovredno dvigu njegove recipročne vrednosti na pozitivno potenco: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Ekvivalentna lastnost za logaritme je, da je loga(1/x) = -loga(x). Ko je ta lastnost združena s pravilom produkta, zagotavlja zakon za jemanje logaritma razmerja: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Končno pravilo za razširitev logaritmov se nanaša na logaritem števila, dvignjenega na potenco. Z uporabo pravila produkta ugotovimo, da je loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). Podobno je loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). Na splošno je loga(xn) = n*loga(x), tudi če n ni celo število.
Ta pravila je mogoče kombinirati za razširitev dnevniških izrazov bolj zapletenega značaja. Drugo pravilo lahko na primer uporabimo za loga(x2y/z), tako da dobimo izraz loga(x2y) – loga(z). Potem lahko prvo pravilo uporabimo za prvi člen, pri čemer dobimo loga(x2) + loga(y) – loga(z). Nazadnje, uporaba tretjega pravila vodi do izraza 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Razširitev logaritmov omogoča hitro reševanje številnih enačb. Na primer, nekdo lahko odpre varčevalni račun s 400 ameriškimi dolarji. Če račun plača 2 odstotka letnih obresti, sestavljenih mesečno, lahko število mesecev, potrebnih, preden se vrednost računa podvoji, poiščete z enačbo 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Deljenje s 400 donosov (1 + 0.02/ 12)m = 2. Če vzamemo logaritem osnove 10 obeh strani, dobimo enačbo log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
To enačbo je mogoče poenostaviti z uporabo pravila moči na m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Z uporabo kalkulatorja za iskanje logaritmov dobimo m*(0.00072322) = 0.30102. Pri reševanju za m ugotovimo, da bo trajalo 417 mesecev, da se vrednost računa podvoji, če ne bo položeno nobenega dodatnega denarja.