Kompleksne izpeljanke so opisi stopenj spreminjanja kompleksnih funkcij, ki delujejo v vrednostnih poljih, ki vključujejo imaginarna števila. Matematikom pripovedujejo o obnašanju funkcij, ki jih je težko vizualizirati. Derivat kompleksne funkcije f pri x0, če obstaja, je podana z mejo, ko se x približuje x0 od (f(x)-f(x0))/(x-x0).
Funkcije povežejo vrednosti v enem polju z vrednostmi v drugem polju, kar je dejanje, imenovano preslikava. Če eno ali obe od teh polj vsebujeta števila, ki so del polja kompleksnih števil, se funkcija imenuje kompleksna funkcija. Kompleksni izpeljanki izvirajo iz kompleksnih funkcij, vendar nima vsaka kompleksna funkcija kompleksnega izpeljanka.
Nabori vrednosti, ki jih kompleksna funkcija preslika v in iz, morajo vključevati kompleksna števila. To so vrednosti, ki jih lahko predstavimo z a + bi, kjer sta a in b realni števili, i je kvadratni koren negativne ena, ki je namišljeno število. Vrednost b je lahko nič, zato so vsa realna števila tudi kompleksna števila.
Izpeljanke so stopnje spremembe funkcij. Na splošno je izpeljanka mera enot spremembe na eni osi za vsako enoto druge osi. Na primer, vodoravna črta na dvodimenzionalnem grafu bi imela izpeljanko nič, ker se za vsako enoto x vrednost y spremeni za nič. Trenutni derivati, ki se najpogosteje uporabljajo, dajejo stopnjo spremembe na eni točki na krivulji in ne v območju. Ta izpeljanka je naklon premice, ki se dotika krivulje na želeni točki.
Izpeljanka pa ne obstaja povsod na vsaki funkciji. Če ima funkcija kot na primer, izpeljanka v vogalu ne obstaja. To je zato, ker je izpeljanka opredeljena z mejo, in če izpeljanka preskoči z ene vrednosti na drugo, meja ne obstaja. Za funkcijo, ki ima izpeljanke, rečemo, da je diferencibilna. Eden od pogojev za diferenciabilnost v kompleksnih funkcijah je, da morajo delne izpeljanke ali izpeljanke za vsako os obstajati in biti neprekinjene na zadevni točki.
Kompleksne funkcije, ki imajo kompleksne izpeljanke, morajo izpolnjevati tudi pogoje, imenovane Cauchy-Riemannove funkcije. Ti zahtevajo, da so kompleksni derivati enaki ne glede na to, kako je funkcija usmerjena. Če so pogoji, določeni s funkcijami, izpolnjeni in so delni odvodki zvezni, je funkcija kompleksno diferencibilna.