Vsak prostor, ki ni popolnoma raven, se imenuje ukrivljen prostor. Površina krogle je ukrivljen prostor, tako kot površina sedla. Krogla je primer pozitivne ukrivljenosti, kar pomeni, da če je trikotnik izdelan z ravnimi črtami v ukrivljenem prostoru, bodo koti seštevali več kot običajnih 180 stopinj. Sedlo je primer negativnega ukrivljenega razmaka. Vzrok gravitacije je ukrivljenost prostora – masa ukrivlja prostor, kar sili predmete, da se vlečejo skupaj.
Pitagorejev izrek se pogosto uporablja za preverjanje, ali je prostor raven ali ukrivljen. Ta matematična formula namesto kotov uporablja dolžino vsake strani trikotnika. Če se dolžine ujemajo s tem, kar navaja izrek, je trikotnik v ravnem prostoru. Če se dolžine ne ujemajo natančno z izrekom, je trikotnik v ukrivljenem prostoru. Kote je težko izmeriti na dolge razdalje, vendar lahko z merjenjem stranic ali oboda trikotnika enostavno prikažete naravo prostora.
Evklidska geometrija je študij oblik v ravnem prostoru. Temelji na seznamu osnovnih informacij, imenovanih aksiomi, in dokazuje številne matematične koncepte, kot je Pitagorejev izrek. Aksiomi so pogosto ovrženi, kar pomeni, da se izkaže, da niso vedno resnični, v ukrivljenem prostoru ali neevklidski geometriji. Vsi trikotniki imajo v evklidski geometriji 180 stopinj, kar je v ukrivljenem prostoru enostavno ovreči z merjenjem vsakega kota s kotomerjem.
Ukrivljen prostor igra pomembno vlogo v sodobni astronomiji. Za gravitacijo se šteje ukrivljen prostor, ki obdaja veliko telo, ki povzroči, da manjši predmeti krožijo ali trčijo z velikim telesom. To je bilo odkrito šele, ko je Einstein objavil svojo teorijo splošne relativnosti, ki je gravitacijo najprej opisala kot ukrivljen prostor. Pred tem so astronomi netočno izračunali orbite, ker je bil prostor obravnavan kot tridimenzionalna evklidska oblika. Sodobni astronomi lahko izračunajo in napovedujejo veliko več z neevklidskim prostorom, kot so črne luknje in kako se galaksije premikajo.
Tudi oče fizike Isaac Newton je uporabljal evklidsko geometrijo. To je bil edini način za preučevanje oblik že več kot 2000 let. Nato je v poznem 19. stoletju Janos Bolyai ovrgel aksiom, da se vzporedne črte nikoli ne križajo. Einstein je lahko razumel neevklidsko geometrijo in kako jo je mogoče uporabiti za pravilno napovedovanje bizarne orbite Merkurja. Sodobni pogled je, da prave evklidske oblike obstajajo le v prostorih, ki so daleč od gravitacijskega telesa.