Teorija množic predstavlja večino temeljev sodobne matematike in je bila formalizirana v poznih 1800-ih. Teorija množic opisuje nekaj zelo temeljnih in intuitivnih idej o tem, kako se stvari, imenovane »elementi« ali »člani«, ujemajo v skupine. Kljub navidezni preprostosti idej je teorija množic precej stroga. V želji, da bi odpravili vso arbitrarnost v svojih teorijah, so matematiki z leti dodobra prilagodili teorijo množic.
V teoriji množic je množica katera koli dobro opredeljena skupina elementov ali članov. Nabori so običajno označeni s poševnimi velikimi črkami, kot sta A ali B. Če dva niza vsebujeta iste člane, ju lahko prikažemo kot enakovredne z znakom enakosti.
Vsebino kompleta lahko opišemo v preprosti angleščini: A = vsi kopenski sesalci. Vsebino je mogoče navesti tudi v oklepajih: A = {medvedi, krave, prašiči itd.} Pri velikih nizih se lahko uporabi elipsa, kjer je vzorec nabora očiten. Na primer, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Ena vrsta množice ima nič članov, množica je znana kot prazen niz. Simbolizira ga ničla z diagonalno črto, ki se dviguje od leve proti desni. Čeprav je na videz nepomembno, se izkaže za zelo pomembno matematično.
Nekateri nizi vsebujejo druge množice, zato so označeni kot nadnabori. Vsebovani nizi so podmnožice. V teoriji množic se to razmerje imenuje »vključitev« ali »zadrževanje«, ki ga simbolizira zapis, ki izgleda kot črka U, zasukana za 90 stopinj v desno. Grafično je to mogoče predstaviti kot krog v drugem, večjem krogu.
Nekatere običajne množice v teoriji množic vključujejo N, množico vseh naravnih števil; Z, množica vseh celih števil; Q, množica vseh racionalnih števil; R, množica vseh realnih števil; in C, množica vseh kompleksnih števil.
Ko se dva niza prekrivata, vendar nobeden ni popolnoma vgrajen v drugega, se celotna stvar imenuje unija množic. To predstavlja simbol, podoben črki U, vendar nekoliko širši. V zapisu množic AUB pomeni “množico elementov, ki so člani bodisi A bodisi B”. Obrnite ta simbol na glavo in dobite presečišče A in B, ki se nanaša na vse elemente, ki so člani obeh množic. V teoriji množic je mogoče množice tudi »odšteti« drug od drugega, kar ima za posledico komplementa. Na primer, B – A je enakovreden nizu elementov, ki so člani B, ne pa A.
Iz zgornjih temeljev izhaja večina matematike. Skoraj vsi matematični sistemi vsebujejo lastnosti, ki jih je mogoče v osnovi opisati v smislu teorije množic.