Poincaréjeva hipoteka je ena najpomembnejših domnev v sodobni matematiki in je trenutno primerno dokazana do te mere, da se šteje za popoln izrek. Gre za enega od sedmih problemov Millennium Prize, ki jih je leta 2000 navedel inštitut Clay Mathematics Institute. Do danes je to edini od problemov Millennium Prize, ki je bil rešen, njegova rešitev pa je veljala za eno najpomembnejših odkritij v novo tisočletje.
V začetku 20. stoletja je francoski matematik Henri Poincaré začel postavljati, kaj bi služilo kot podlaga za matematično področje topologije. Eden njegovih glavnih poudarkov je bil na lastnostih krogel, veliko pozornosti in energije pa je posvetil orisanju krogle. Postavil je številna vprašanja, najbolj znano pa je bilo izraženo takole: »Razmislimo o kompaktnem 3-dimenzionalnem mnogoterju V brez meja. Ali je možno, da bi bila osnovna skupina V trivialna, čeprav V ni homeomorfna 3-dimenzionalni sferi?” Čeprav tako ali drugače nikoli ni podal konkretne izjave, bi to postalo znano kot Poincaréjeva domneva.
Pogostejša oblika Poincaréjeve domneve je preprosta: vsak preprosto povezan, zaprt 3- mnogoter je homeomorfen 3-sferi. Poincaréjeva domneva je bila posplošena tudi na dimenzije nad tremi, v obliki n-sfere. Čeprav je bilo prvotno mišljeno, da bo Poincaréjeva domneva sama po sebi resnična, je bilo mišljeno, da bi se generalizirana Poincaréjeva domneva izkazala za napačno. Zato je bilo presenečenje, ko je bila leta 1961 generalizirana Poincaréjeva domneva dokazana za dimenzije, večje od štirih, in nato leta 1982, ko se je izkazalo, da je primer 4-kroglice resničen.
Leta 1982 je Richard Hamilton pokazal, da je Poincaréjeva domneva resnična v številnih specializiranih primerih, vendar je ni mogel dokazati na splošno. Leta 2000 je Clay Mathematics Institute vključil Poincaréjevo hipoteko v naloge za nagrado tisočletja in ponudil nagrado v višini 1,000,000 ameriških dolarjev (USD) za rešitev, ki se je izkazala za zadovoljivo. V letih 2002 in 2003 je matematik Grigori Perelman objavil dva članka, ki sta pripravila skico za dokaz Poincaréjeve domneve.
Leta 2006 so številne delovne skupine zapolnile majhne naključne vrzeli v Perelmanovem delu, John Morgan in Gang Tian pa sta to napisala kot podroben dokaz. Sčasoma so to razširili v knjigo o Poincaréjevi domnevi in leta 2006 je Morgan izjavil, da je Perelman leta 2003 rešil problem. Za svoje delo je Perelman prejel Fieldsovo medaljo, vendar jo je zavrnil. Čeprav je tehnično rešil tudi nagrado tisočletja in je zato upravičen do prejema 1 milijona USD, ni storil potrebnih korakov za prevzem nagrade.
Reševanje Poincaréjeve domneve je bilo videti kot velik preboj v matematiki in eden pomembnejših dokazov novega tisočletja. Konec leta 2006 je revija Science rešitev Poincaréjeve domneve razglasila za znanstveni preboj leta. To je bilo prvič, da je bila čast podeljena preboju v čisti matematiki.