Pi je 16. črka grške abecede, vendar je najbolj znana kot simbol, ki se uporablja za poimenovanje matematičnega razmerja: razmerja med obsegom kroga in njegovim premerom. Kot taka je matematična konstanta in ima veliko uporab. Najbolj očitno je, da se lahko uporablja za izračun obsega kroga iz njegovega premera in obratno. Drugi primeri so formule za iskanje površine kroga in prostornine krogle. Pogosto je predstavljena z grško obliko črke π in ima običajno vrednost 3.14; vendar je to le približek, število pa ima nekaj zanimivih lastnosti.
vrednost
Natančne vrednosti pi ni mogoče navesti. Noben ulomek mu ni popolnoma enak in ko je izražen kot decimalna številka, je za decimalno vejico neskončno število števk. Zato, kadar je to potrebno za izračun, je treba uporabiti približek. Uporabljena vrednost je odvisna od tega, kako natančen mora biti izračun.
Za nekatere namene je 3.14 sprejemljiva, medtem ko bo za druge morda potrebna vrednost, pravilna na, recimo, osem decimalnih mest – 3.14159265. Noben izračun ne zahteva vrednosti s točnostjo več kot 40 decimalnih mest. Mnogi ljudje uporabljajo računalnike za izvajanje rekordnih izračunov vrednosti π; od leta 2013 je bil izračunan na 10 bilijonov decimalnih mest. Vendar ne obstaja nobena aplikacija, ki bi zahtevala tako natančno vrednost.
uporabljate
Čeprav je pi definiran s premerom kroga, se v matematičnih formulah običajno uporablja polmer, ki ga predstavlja “r”, tako da je formula za obseg kroga 2πr ali polmer, pomnožen z π krat dva. Druge običajne matematične formule, ki uporabljajo π, vključujejo naslednje:
površina kroga – πr2
površina krogle je 4πr2
prostornina krogle je 4/3πr3
Konstanta se veliko uporablja tudi v
fizika
, statistika in
inženiring
.
Nepremičnine
Pi je iracionalno število, kar pomeni, da ga ni mogoče izraziti kot razmerje ali ulomek, ki vključuje dve celi števili, kot sta 2/5 ali 7/3. Nekateri ulomki so tesni približki, na primer 355/113 daje število pravilno na 6 decimalnih mest; vendar na ta način ni mogoče dobiti natančne vrednosti. Ko so iracionalna števila izražena kot decimalne številke, števke za decimalno vejico tvorijo neskončno, neponavljajoče se zaporedje.
Je tudi transcendentno število, kar pomeni, da ne more biti koren ali rešitev nobene algebraične enačbe z racionalnimi koeficienti. Koeficienti enačbe so preprosto številke, ki stojijo pred simbolom; kjer ni številske predpone, je koeficient 1. Na primer, v enačbi 3x + y = 0 sta koeficienta x in y 3 oziroma 1. Dejstvo, da je pi transcendentalen, je dokaz, da je starodavni problem “kvadriranja kroga” – konstrukcije kvadrata z enako površino kot krog z uporabo samo ravne strani in kompasa – nerešljiv.
Zdi se, da je zaporedje števk za decimalno vejico naključno. V tem številu je bilo narejenih veliko poskusov, da bi našli vzorce, vendar so vsi neuspešni. Naključnost ni dokazana, vendar od leta 2013 zaporedje, kolikor je bilo izračunano, zanj opravi vse teste.
Zgodovina
Tako stari Babilonci kot stari Egipčani so uporabljali grobe približke π, pri čemer so izračunali vrednosti nekaj več kot 3.1. Arhimed, starogrški matematik, je ugotovil, da je vrednost med 223/71 in 22/7. Leta 1770 je nemški matematik Johann Lambert ugotovil, da je Pi iracionalen, leta 1882 pa je fizik Ferdinand Lindemann pokazal, da gre za transcendentno število. V zadnjih letih je bila vrednost izračunana na vedno večje število decimalnih mest – trend, ki se bo po vsej verjetnosti nadaljeval z rastjo računalniške moči.
Zanimiva dejstva o π
Če je zaporedje števk za decimalno vejico v π naključno, to pomeni, ker je tudi neskončno, da se mora vsako zamislivo zaporedje številk, ne glede na to, kako dolgo ali malo verjetno, pojaviti nekje v nizu. Pravzaprav se mora vsaka zgoditi neskončno število krat. Številke lahko uporabite za predstavljanje drugih znakov, kot so črke abecede in ločila. Na ta način bi lahko teoretično našli vsako možno zaporedje znakov znotraj pi z iskanjem po zadostnem številu števk. Te sekvence bi vključevale celotna Shakespearova dela, vse znane učbenike matematike in ta članek ter neskončno še nenapisanih knjig.
Da bi našli kaj pomembnejšega, ki je več kot le nekaj znakov, bi bilo treba izračunati pi na nepredstavljivo število decimalnih mest, kar je veliko velikostnih redov več od trenutnega zapisa. Od leta 2013 lahko vsakdo s preprostim spletnim programom išče znakovne nize v prvih štirih milijardah števk π. Verjetnost, da bi našli zaporedje znakov dane dolžine, je enostavno izračunati. Na primer, verjetnost, da najdemo dano desetmestno zaporedje v prvih štirih milijardah števk pi je 0.0003%.
Doslej v pi ni bilo mogoče najti ničesar, kar bi se zdelo smiselno. Obstaja pa zaporedje šestih zaporednih devetk, ki se začnejo pri 9. števki. To je znano kot Feynmanova točka in je poimenovana po fiziku Richardu Feynmanu. Verjetnost, da se pojavi tako zgodaj v zaporedju, je 762 %; kljub temu velja, da je to preprosto čuden pojav.
Mnogim ljudem je uspelo zapomniti π na ogromno število decimalnih mest. Od leta 2013 se šteje, da je rekord 67,890. Datum 14. marec (tudi napisan 3/14) je bil v ZDA označen kot »dan Pi«, kjer se odvijajo različne dejavnosti, povezane s pi. Na podlagi te konstante je bila ustvarjena glasba in napisani romani, kjer so dolžine besed števke π v pravilnem zaporedju.