Naravni logaritem je logaritem z osnovo e. Škotski matematik John Napier (1550-1617) je izumil logaritem. Čeprav pojma naravnega logaritma ni uvedel sam, se funkcija včasih imenuje Napierov logaritem. Naravni logaritem se uporablja v številnih znanstvenih in inženirskih aplikacijah.
John Napier je razvil ime “logaritem” kot kombinacijo grških besed logos in arithmos. Angleški prevodi so »razmerje« oziroma »številke«. Napier je 20 let delal na svoji teoriji logaritmov in objavil svoje delo v knjigi Mirifici Logarithmorum canonis descriptio leta 1614. Angleški prevod naslova je A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Naravni logaritem je označen kot logaritem osnove e, ki se včasih imenuje Napierjeva konstanta. To število je znano tudi kot Eulerjevo število. Črka “e” se uporablja v čast Leonhardu Eulerju (1707-1783), prvič pa jo je Euler uporabil v pismu Christianu Goldbachu leta 1731.
Inverzna vrednost naravne eksponentne funkcije, definirane kot f(x) = ex, je naravna logaritmična funkcija. Ta funkcija je zapisana kot f(x) = ln(x). To isto funkcijo lahko zapišemo kot f(x) = loge(x), vendar je standardni zapis f(x) = ln(x).
Domena naravnega logaritma je (0, neskončnost), obseg pa (-neskončnost, neskončnost). Graf te funkcije je konkaven, obrnjen navzdol. Sama funkcija je naraščajoča, neprekinjena in ena proti ena.
Naravni logaritem 1 je enak 0. Ob predpostavki, da sta a in b pozitivni števili, je ln(a*b) enak ln(a) + ln(b) in ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Če sta a in b pozitivni števili in je n racionalno število, potem je ln(an) = n*ln(a). Te lastnosti naravnih logaritmov so značilne za vse logaritemske funkcije.
Dejansko definicijo naravne logaritemske funkcije najdemo v integralu 1/t dt. Integral je od 1 do x z x > 0. Eulerjevo število, e, označuje pozitivno realno število, tako da je integral 1/t dt od 1 do e enak 1. Eulerjevo število je iracionalno število in je približno enako na 2.7182818285.
Izvod naravne logaritemske funkcije glede na x je 1/x. Izvod glede na x inverzne logaritemske funkcije, naravne eksponentne funkcije, je presenetljivo spet naravna eksponentna funkcija. Z drugimi besedami, naravna eksponentna funkcija je lastna izpeljanka.