Mersennovo praštevilo je praštevilo, ki je ena manjša od potenca dvojke. Do danes so jih odkrili približno 44.
Dolga leta je veljalo, da so vsa števila v obliki 2n – 1 prosta. V 16. stoletju pa je Hudalricus Regius pokazal, da je 211 – 1 2047, s faktorjema 23 in 89. V naslednjih nekaj letih so bili prikazani številni drugi nasprotni primeri. Sredi 17. stoletja je francoski menih Marin Mersenne izdal knjigo Cogitata Physica-Mathematica. V tej knjigi je navedel, da je 2n – 1 pra za vrednost n 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 in 257.
Takrat je bilo očitno, da nikakor ne bi mogel preizkusiti resnice katere koli od višjih številk. Hkrati pa tudi njegovi vrstniki niso mogli dokazati ali ovreči njegove trditve. Pravzaprav je šele stoletje pozneje Euler uspel dokazati, da je bilo prvo nedokazano število na Mersennovem seznamu, 231 – 1, v resnici pra. Stoletje pozneje, sredi 19. stoletja, se je pokazalo, da je bil tudi 2127 – 1 prvi. Kmalu zatem se je pokazalo, da je 261 – 1 tudi prazen, kar kaže, da je Mersenne zgrešil vsaj eno številko na svojem seznamu. V začetku 20. stoletja sta bili dodani še dve številki, ki ju je zgrešil, 289 – 1 in 2107 – 1. S prihodom računalnikov je preverjanje, ali so števila preproste ali ne, postalo veliko lažje in do leta 1947 je celoten obseg Mersennovega izvirnega Mersenna praštevila so bila preverjena. Končni seznam je na njegov seznam dodal 61, 89 in 107 in izkazalo se je, da 257 v resnici ni bilo prvovrstno.
Kljub temu je bilo zaradi njegovega pomembnega dela pri postavljanju temeljev za delo kasnejših matematikov njegovo ime dano temu nizu številk. Ko je število 2n – 1 dejansko praštevilo, naj bi bilo eno od Mersennovih praštevil.
Mersennovo praštevilo je povezano tudi s tako imenovanimi popolnimi številkami. Popolna števila imajo že tisočletja pomembno mesto v misticizmu, ki temelji na številkah. Popolno število je število n, ki je enako vsoti njegovih deliteljev, razen samega sebe. Število 6 je na primer popolno število, ker ima delilce 1, 2 in 3, 1+2+3 pa je tudi enako 6. Naslednje popolno število je 28 z delitelji 1, 2, 4 , 7 in 14. Naslednje skoči na 496, naslednje pa je 8128. Vsako popolno število ima obliko 2n-1(2n – 1), kjer je 2n – 1 tudi Mersennovo praštevilo. To pomeni, da se pri iskanju novega Mersennovega praštevila osredotočamo tudi na iskanje novih popolnih števil.
Tako kot pri mnogih tovrstnih številih je iskanje novega Mersennovega praštevila težje, ko napredujemo, ker so številke bistveno bolj zapletene in zahtevajo veliko več računalniške moči za preverjanje. Medtem ko je na primer deseto Mersennovo praštevilo, 89, mogoče hitro preveriti na domačem računalniku, bo dvajseto, 4423, obdavčilo domači računalnik, trideseto, 132049, pa zahteva veliko računalniško moč. Štirideseto znano Mersennovo praštevilo, 20996011, vsebuje več kot šest milijonov posameznih števk.
Iskanje novega Mersennovega praštevila se nadaljuje, saj igrajo pomembno vlogo pri številnih domnevah in problemih. Morda je najstarejše in najbolj zanimivo vprašanje, ali obstaja liho popolno število. Če bi taka stvar obstajala, bi morala biti deljiva z vsaj osmimi praštevili in bi imela vsaj petindvajset prafaktorjev. Eden od njegovih primarnih deliteljev bi bil večji od 1020, tako da bi bilo to resnično monumentalno število. Ker se računalniška moč še naprej povečuje, bo vsako novo Mersennovo praštevilo postalo nekoliko manj težko in morda bodo te starodavne težave sčasoma rešene.