Coset je posebna vrsta podmnožice matematične skupine. Na primer, lahko razmislimo o množici vseh integralnih večkratnikov 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …}, ki jih lahko označimo kot 7Z. Če vsakemu številu dodamo 3, ustvarimo množico {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, ki jo matematiki opisujejo kot 7Z + 3. Ta slednji niz se imenuje koset 7Z, ki ga generira 3.
Obstajata dve pomembni lastnosti 7Z. Če je število večkratnik 7, je tudi njegov aditivni obrat. Dodatek inverz od 7 je -7, aditivni inverz od 14 je -14 itd. Tudi če dodamo večkratnik 7 drugemu večkratniku 7, dobimo večkratnik 7. Matematiki to opisujejo z besedami, da so večkratniki 7 »zaprti« z operacijo seštevanja.
Zaradi teh dveh značilnosti se 7Z imenuje podskupina celih števil, ki se seštevajo. Samo podskupine imajo kosete. Množica vseh kubičnih števil, {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …}, nima koset na enak način kot 7Z, ker ni zaprta s seštevanjem: 1 + 8 = 9 in 9 ni kubično število. Podobno množica vseh pozitivnih sodih števil, {2, 4, 6, …}, nima koset, ker ne vsebuje inverzov.
Razlog za te določbe je, da mora biti vsako število v točno enem razredu. V primeru {2, 4, 6, …} je 6 v razredniku, ki ga generira 4, in je v razredniku, ki ga generira 2, vendar ti dve vrstici nista enaki. Ta dva merila zadostujeta za zagotovitev, da je vsak element v natanko enem razredu.
Odrezki obstajajo v kateri koli skupini in nekatere skupine so veliko bolj zapletene kot cela števila. Koristna skupina, ki bi jo lahko razmislili, je nabor vseh načinov za premikanje kvadrata, ne da bi spremenili območje, ki ga pokriva. Če je kvadrat obrnjen za 90 stopinj, ni vidne spremembe v obliki. Podobno ga je mogoče obrniti navpično, vodoravno ali čez katero koli diagonalo, ne da bi spremenili območje, ki ga pokriva kvadrat. Matematiki to skupino imenujejo D4.
D4 ima osem elementov. Dva elementa se štejeta za enaka, če pustita vse vogale na istem mestu, zato se štirikratno vrtenje kvadrata v smeri urinega kazalca šteje za enako kot nič. Glede na to lahko osem elementov označimo z e, r, r2, r3, v, h, dd in dd. “e” se nanaša na nič, “r2” pa na dve rotaciji. Vsak od zadnjih štirih elementov se nanaša na obračanje kvadrata: navpično, vodoravno ali vzdolž njegovih navzgor ali navzdol poševnih diagonal.
Cela števila so abelova skupina, kar pomeni, da njeno delovanje izpolnjuje komutativni zakon: 3 + 2 = 2 + 3. D4 ni abelov. Če zasukate kvadrat in ga nato vodoravno obrnete, vogalov ne premaknete na enak način kot če ga obrnete in nato zavrtite.
Ko delajo v nekomutativnih skupinah, matematiki običajno uporabljajo * za opis operacije. Malo dela pokaže, da je vrtenje kvadrata in nato vodoravno obračanje, r * h, enako, kot če ga obrnemo čez njegovo diagonalo navzdol. Tako je r * h = dd. Če obrnete kvadrat in ga nato zavrtite, je enakovredno, da ga obrnete čez njegovo diagonalo navzgor, zato je r * h = du.
Vrstni red je pomemben v D4, zato je treba biti pri opisovanju kosetov bolj natančen. Pri delu s celimi števili je besedna zveza »odbornik 7Z, ki ga generira 3« nedvoumna, ker ni pomembno, ali je 3 dodano na levi ali desni strani vsakega večkratnika 7. Za podskupino D4 pa bodo različni vrstni redovi ustvarite različne cosete. Na podlagi prej opisanih izračunov, r*H, levi razrednik H, ki ga generira r, je enak {r, dd}, vendar je H*r enak (r, du}. Zahteva, da noben element ni v dveh različnih razredkih, ne velja pri primerjavi desnih koset z levimi.
Desni koseti H se ne ujemajo z njegovimi levimi kosetami. Te lastnosti nimajo vse podskupine D4. Lahko upoštevamo podskupino R vseh rotacije kvadrata, R={e, r, r2, r3}.
Majhen izračun pokaže, da so njegovi levi koseti enaki desnim. Takšna podskupina se imenuje normalna podskupina. Normalne podskupine so v abstraktni algebri izjemno pomembne, ker vedno kodirajo dodatne informacije. Na primer, dva možna koseta R ustrezata dvema možnima situacijama »kvadrat je bil obrnjen« in »kvadrat ni bil obrnjen«.