Bayesov izrek, včasih imenovan Bayesovo pravilo ali načelo inverzne verjetnosti, je matematični izrek, ki zelo hitro sledi aksiomom teorije verjetnosti. V praksi se uporablja za izračun posodobljene verjetnosti nekega ciljnega pojava ali hipoteze H glede na nove empirične podatke X in nekaj osnovnih informacij ali prejšnjo verjetnost.
Predhodna verjetnost neke hipoteze je običajno predstavljena z nekim odstotkom med 0 % in 100 % ali določenim številom med 0 in 1. Ta verjetnost se pogosto imenuje stopnja zaupanja in naj bi se razlikovala od opazovalca do opazovalca, saj niso vsi opazovalci so imeli enake izkušnje in zato ne morejo narediti enakovrednih ocen verjetnosti za katero koli hipotezo. Uporaba Bayesovega izreka v znanstvenem kontekstu se imenuje Bayesov sklep, ki je kvantitativna formalizacija znanstvene metode. Omogoča optimalno revizijo teoretičnih porazdelitev verjetnosti glede na eksperimentalne rezultate.
Bayesov izrek v kontekstu znanstvenega sklepanja pravi naslednje: »Nova verjetnost, da je neka hipoteza H resnična (imenovana posteriorna verjetnost) glede na nov dokaz X, je enaka verjetnosti, da bomo ta dokaz X opazili, če je H dejansko resnična (imenovana pogojna verjetnost ali verjetnost), pomnožena prejšnja verjetnost, da je H resnična, vse deljeno z verjetnostjo X.
Običajno ponovitev zgornjega v smislu, kako rezultat testa prispeva k verjetnosti, da ima določen pacient raka, je mogoče prikazati kot naslednje:
p(pozitivno|rak)*p(rak)
_______________________________________________
p(pozitivno|rak)*p(rak) + p(pozitivno|~rak)*p(~rak)
Navpična vrstica pomeni “dano”. Verjetnost, da ima bolnik raka po pozitivnem rezultatu na določenem testu raka, je enaka verjetnosti pozitivnega rezultata glede na raka (izpeljano iz preteklih rezultatov), pomnoženi s predhodno verjetnostjo, da ima katera koli oseba raka (relativno nizka), vse deljeno s tem enako število, plus verjetnost lažno pozitivnega rezultata, pomnožena s prejšnjo verjetnostjo, da nimate raka.
Sliši se zapleteno, toda zgornjo enačbo je mogoče uporabiti za določitev posodobljene verjetnosti katere koli hipoteze glede na kateri koli količinsko merljiv eksperimentalni rezultat.