Švicarski matematik Leonhard Euler iz 18. stoletja je razvil dve enačbi, ki sta postali znani kot Eulerjeva formula. Ena od teh enačb povezuje število vozlišč, obrazov in robov na poliedru. Druga formula povezuje pet najpogostejših matematičnih konstant med seboj. Ti dve enačbi sta bili uvrščeni na drugo in prvo mesto kot najbolj elegantna matematična rezultata glede na “Matematični inteligenco”.
Eulerjeva formula za poliedre se včasih imenuje tudi Euler-Descartesov izrek. Navaja, da je število obrazov, plus število oglišč, minus število robov na poliedru, vedno enako dvema. Zapiše se kot F + V – E = 2. Na primer, kocka ima šest ploskov, osem oglišč in 12 robov. Če vključimo v Eulerjevo formulo, je 6 + 8 – 12 dejansko enako dve.
Pri tej formuli obstajajo izjeme, ker velja le za polieder, ki se ne seka. Dobro znane geometrijske oblike, vključno s kroglami, kockami, tetraedri in osmerokotniki, so poliedri, ki se ne sekajo. Sekajoči se polieder pa bi nastal, če bi nekdo združil dve oglišči poliedra, ki se ne seka. To bi povzročilo, da bi imel polieder enako število ploskev in robov, vendar eno točko manj, zato je očitno, da formula ne drži več.
Po drugi strani pa lahko bolj splošno različico Eulerjeve formule uporabimo za poliedre, ki se sekajo. Ta formula se pogosto uporablja v topologiji, ki je študij prostorskih lastnosti. V tej različici formule je F + V – E enako številu, imenovanemu Eulerjeva karakteristika, ki jo pogosto simbolizira grška črka chi. Na primer, tako torus v obliki krofa kot Mobiusov trak imata Eulerjevo lastnost nič. Eulerjeva lastnost je lahko tudi manjša od nič.
Druga Eulerjeva formula vključuje matematične konstante e, i, Π, 1 in 0. E, ki se pogosto imenuje Eulerjevo število in je iracionalno število, ki zaokroži na 2.72. Namišljeno število i je definirano kot kvadratni koren iz -1. Pi (Π), razmerje med premerom in obsegom kroga, je približno 3.14, vendar je tako kot e iracionalno število.
Ta formula je zapisana kot e(i*Π) + 1 = 0. Euler je odkril, da če je Π zamenjan za x v trigonometrični identiteti e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), je rezultat je bila to, kar zdaj poznamo kot Eulerjeva formula. Poleg povezovanja teh petih temeljnih konstant formula tudi dokazuje, da lahko dvig iracionalnega števila na potenco namišljenega iracionalnega števila povzroči realno število.