Kroneckerjeva delta funkcija, označena z δi,j, je binarna funkcija, ki je enaka 1, če sta i in j enaka, in enaka 0 v nasprotnem primeru. Čeprav je tehnično funkcija dveh spremenljivk, se v praksi uporablja kot notacijska okrajšava, ki omogoča kompaktno pisanje zapletenih matematičnih stavkov. Matematiki, fiziki in inženirji, ki se ukvarjajo z linearno algebro, tenzorsko analizo in digitalno obdelavo signalov, uporabljajo Kroneckerjevo delta funkcijo kot pripomoček, da v eni enačbi prenesejo tisto, kar bi sicer trajalo več vrstic besedila.
Ta funkcija se najpogosteje uporablja za poenostavitev pisanja enačb, ki vključujejo sigma zapis, ki je sam po sebi jedrnata metoda sklicevanja na zapletene vsote. Na primer, če ima podjetje 30 zaposlenih {e1, e2 … e30} in vsak zaposleni dela različno število ur {h1, h2 … h30} po drugi urni postavki {r1, r2 … r30}, je skupni plačani denar tem zaposlenim za njihovo delo enako e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Matematiki lahko to jedrnato zapišejo kot ∑i ei*hi*ri.
Pri opisovanju fizičnih sistemov, ki vključujejo več razsežnosti, morajo fiziki pogosto uporabiti dvojna seštevanja. Praktične znanstvene aplikacije so zelo zapletene, vendar konkreten primer kaže, kako lahko Kroneckerjeva delta funkcija poenostavi izraze v teh primerih.
V nakupovalnem središču so tri trgovine z oblačili, od katerih vsaka prodaja drugačno blagovno znamko. Na voljo je skupno 20 stilov srajc: osem v trgovini 1, sedem v trgovini 2 in pet v trgovini 3. Na voljo je dvanajst stilov hlač: pet v trgovini 1, trije v trgovini 2 in štirje v trgovini 3. Kupite lahko 240 možnih oblek, saj je na voljo 20 možnosti za srajco in 12 možnosti za hlače. Vsaka kombinacija daje drugačno obleko.
Ni tako preprosto izračunati, koliko načinov za izbiro obleke, v kateri so srajca in hlače, iz različnih trgovin. Izberemo lahko srajco iz trgovine 1 in hlače iz trgovine 2 na 8*3 načine. Obstaja 8*4 načinov, kako izbrati srajco iz trgovine 1 in hlače iz trgovine 3. Če nadaljujemo na ta način, ugotovimo, da je skupno število oblek z uporabo artiklov iz različnih trgovin 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Razpoložljivost srajc in hlač bi lahko obravnavali kot dve zaporedji, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} in {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Nato Kroneckerjeva delta funkcija omogoča, da to vsoto zapišemo preprosto kot ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Izraz (1- δi,j) izloči tiste obleke, ki vključujejo srajco in hlače, kupljene v isti trgovini, ker je v tem primeru i = j, torej δi,j = 1 in (1- δi,j) = 0. Pomnoženje izraza z 0 odstrani iz vsote.
Kroneckerjeva delta funkcija se najpogosteje uporablja pri analizi večdimenzionalnih prostorov, lahko pa se uporablja tudi pri preučevanju enodimenzionalnih prostorov, kot je prava številska premica. V tem primeru se pogosto uporablja varianta z enim vhodom: δ(n) = 1, če je n = 0; δ(n) = 0 sicer. Če želite videti, kako je mogoče Kroneckerjevo delta funkcijo uporabiti za poenostavitev zapletenih matematičnih izjav o realnih številih, bi lahko razmislili o naslednjih dveh funkcijah, katerih vhodi so poenostavljeni ulomki:
f(a/b) = a, če je a =b+1, f(a/b) = -b, če je b=a+1, in f(a/b) = 0 v nasprotnem primeru.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Funkciji f in g sta enaki, vendar je definicija za g bolj kompaktna in ne zahteva angleščine, zato jo lahko razume vsak matematik na svetu.
Kot ponazarjajo ti primeri, so vhodi Kroneckerjeve delta funkcije običajno cela števila, ki so povezana z nekaterim zaporedjem vrednosti. Diracova delta porazdelitev je neprekinjen analog Kroneckerjeve delta funkcije, ki se uporablja pri integraciji funkcij in ne pri seštevanju zaporedij.