Matrice so matematični predmeti, ki preoblikujejo oblike. Določnik kvadratne matrike A, označen z |A|, je število, ki povzema učinek, ki ga ima A na velikost in orientacijo figure. Če je [ab] vektor zgornje vrstice za A in [cd] njegov vektor spodnje vrstice, potem je |A| = ad-bc.
Določnik kodira koristne informacije o tem, kako matrika preoblikuje regije. Absolutna vrednost determinante označuje faktor skale matrike, koliko raztegne ali skrči figuro. Njegov znak opisuje, ali matrika obrne figure, kar daje zrcalno sliko. Matrice lahko tudi nagibajo regije in jih vrtijo, vendar te informacije ne zagotavlja determinanta.
Aritmetično je transformacijsko delovanje matrike določeno z množenjem matrik. Če je A matrika 2 × 2 z zgornjo vrstico [ab] in spodnjo vrstico [cd], potem je [1 0] * A = [ab] in [0 1] * A = [cd]. To pomeni, da A odpelje točko (1,0) do točke (a,b) in točko (0,1) do točke (c,d). Vse matrike pustijo izvor nepremičen, tako da vidimo, da A trikotnik s končnimi točkami na (0,0), (0,1) in (1,0) pretvori v drug trikotnik s končnimi točkami na (0,0), (a ,b) in (c,d). Razmerje med površino tega novega trikotnika in prvotnim trikotnikom je enako |ad-bc|, absolutni vrednosti |A|.
Predznak determinante matrike opisuje, ali matrika obrne obliko. Če upoštevamo trikotnik s končnimi točkami na (0,0), (0,1) in (1,0), če matrika A drži točko (0,1) nepremično, medtem ko točko (1,0) pripelje do točke (-1,0), potem je trikotnik obrnil čez premico x = 0. Ker je A obrnil lik, |A| bo negativno. Matrica ne spremeni velikosti regije, zato |A| mora biti -1, da je skladno s pravilom, da je absolutna vrednost |A| opisuje, koliko A raztegne figuro.
Matrična aritmetika sledi asociativnemu zakonu, kar pomeni, da je (v*A)*B = v*(A*B). Geometrijsko to pomeni, da je kombinirano delovanje najprej preoblikovanja oblike z matriko A in nato preoblikovanja oblike z matriko B enakovredno preoblikovanju prvotne oblike z izdelkom (A*B). Iz tega opažanja lahko razberemo, da je |A|*|B| = |A*B|.
Enačba |A| * |B| = |A*B| ima pomembno posledico, ko |A| = 0. V tem primeru dejanja A ni mogoče razveljaviti z neko drugo matriko B. To je mogoče sklepati z ugotovitvijo, da če sta A in B inverzni, potem (A*B) ne raztegne ali obrne nobene regije, zato |A* B| = 1. Ker |A| * |B| = |A*B|, to zadnje opazovanje vodi do nemogoče enačbe 0 * |B| = 1.
Lahko se prikaže tudi obratna trditev: če je A kvadratna matrika z neničelno determinanto, ima A inverzno. Geometrijsko je to delovanje katere koli matrike, ki ne splošči regije. Na primer, stiskanje kvadrata v premični segment lahko razveljavi neka druga matrika, imenovana njena inverzna. Takšen inverz je matrični analog recipročne vrednosti.